Waarom is wiskunde moeilijk?

In de blog: Wereldvreemd reacties: 30 pdf print

Er zijn maar weinig mensen die na de middelbare school kiezen voor een wiskunde-opleiding. Feitelijk zijn het er te weinig, want mensen die exact kunnen denken zijn hard nodig voor de technische en wetenschappelijke innovatie die noodzakelijk is om onze economische positie in de toekomst te kunnen handhaven. De meeste mensen vinden wiskunde moeilijk. Maar waarom zou dat het geval zijn? En als het zo moeilijk is, waarom kan het niet gemakkelijker worden gemaakt?

Wiskunde is een spel met eigen regels. Eerst kies je de zetstukken waarmee je het spel speelt, zoals geometrische figuren, of symbolen die staan voor getallen of wat "waarheidswaarden" wordt genoemd. Als zodanig hebben die symbolen niets te maken met iets in de werkelijkheid, net als de pionnen die gebruikt worden bij een bordspel. Dan kies je de regels van het spel. Wat mag je niet en wat mag je wel met de stukken van het spel? Vervolgens kies je de uitgangsposities, dat wat wiskundigen de axioma's noemen. En dan moet je ook nog bepalen wanneer het spel uit is.

Een voorbeeld van zo'n spel is een wiskundige stelling. De regels zijn vooraf gegeven. Zij bepalen welke stappen je kunt doen tijdens het spel. De uitgangspositie wordt aangeduid met het woord 'gegeven'. Het einddoel wordt geformuleerd als 'te bewijzen'. En het spel is gewonnen als er een weg wordt gevonden die stapsgewijs leidt van het gegevene naar dat wat te bewijzen was. Het spel van de wiskunde staat volledig op zichzelf. Het kan worden gespeeld, onafhankelijk van wat er in de wereld gebeurt, net als andere spelen.

Er zijn vele spelen op de wereld, wiskundige en niet wiskundige. Je hebt kinderspelen, met eenvoudige regels, en je hebt een spel als schaken, dat knappe koppen aantrekt. Vele wiskundigen vinden dat een interessant spel. Al die spelen zijn door mensen bedacht. En dat geldt ook voor de wiskunde. Alleen geven wiskundigen er de voorkeur aan om hun regels niet in gewone-mensentaal te schrijven, maar in een speciale symbolentaal. En dat is wat veel mensen moeilijk vinden, ondanks het feit dat de regels in gewone-mensentaal vaak voor verschillende uitleg vatbaar zijn, en de regels van de wiskunde maar voor één.

Je zou zeggen dat die eenduidigheid de wiskunde eenvoudiger zou moeten maken. Zelfs een computer, toch een domme machine, kan wiskundige regels uitvoeren. Maar als je zo'n computer in een robot inbouwt om die te laten lopen, gaat dat maar zeer moeizaam, terwijl mensenkinderen dat kunstje op hun tweede al aardig beheersen. En dan hebben ze nog totaal geen idee van rekenen, laat staan van wiskunde. Mensen zitten anders in elkaar dan computers. Mensen hoeven geen regels toegevoerd te krijgen om te kunnen doen wat ze moeten doen. Computers moeten worden geprogrammeerd, maar mensen leren al doende.

En toch zijn die computers, en de talen waarin ze geprogrammeerd kunnen worden door mensen bedacht. Waarom doen die zo iets? Waarom bouwen ze niet gewoon een brein na, of nog beter: gebruiken de alom tegenwoordige in mensen ingebouwde mensenbreinen om te doen wat er moet gebeuren? Het spel van de wiskunde speelt een grote rol in onze samenleving. Het vormt de basis van wetenschap en techniek. En zonder wetenschap en techniek zouden wij hier op aarde niet kunnen bestaan. Zeker niet in die aantallen en in die omstandigheden waarin we bestaan. Maar had dat dan niet ook zonder wiskunde gekund?

Computers werken radicaal anders dan hersenen. Auto's worden radicaal anders aangedreven dan paarden. Vliegtuigen vliegen anders dan vogels. Als mensen iets doen, dan doen ze het heel anders dan de natuur het doet. Terwijl die mensen toch de natuur als voorbeeld hebben. En je kunt je afvragen of die menselijke uitvindingen wel zoveel beter zijn dan wat de natuur te bieden heeft. Ze leveren in veel gevallen afval op dat moeilijk te verwerken is. En zelfs het klimaat wordt beinvloed door de uitstoot van al onze technische apparaten.

Gisteravond werd bij Pauw en Witteman een dokter geinterviewd die een natuurlijk middel had gevonden om een bepaalde, heel besmettelijke bacterie op te sporen. Hij gebruikte een hond, die die bacterie kon ruiken. En hij betoogde dat wat die hond kon, niet met de beste en duurste technische middelen was te realiseren. Dieren kunnen vaak dingen die wij hen niet nadoen, ook niet als we technische hulpmiddelen gebruiken. Planten kunnen stoffen leveren die wij niet chemisch kunnen produceren. Onze computers kunnen nog geen mier nabootsen. Waarom gaan we dan niet meer bij de natuur te rade? Waarom proberen we alles eerst op onze eigen manier te doen, hoe primitief die vaak ook is, vergeleken met wat de natuur ons te bieden heeft?

En waarom verschilt onze eigen manier eigenlijk zo van die van de natuur? Gebruiken wij wiskunde omdat die betere resultaten oplevert dan kennis van de natuur? Gebruiken we wiskunde omdat we die beter in de hand hebben, beter kunnen manipuleren en beter doorzien? Of gebruiken we wiskunde omdat we nou eenmaal zo in elkaar zitten? Dat laatste is de grote vraag, omdat wiskunde door veel schoolverlaters blijkbaar als moeilijk wordt ervaren. Maar je kunt je ook afvragen of je met de zelfde inspanning die nodig is om van de grond af aan een technisch apparaat of een technische infrastructuur te ontwikkelen, niet tot een veel beter resultaat zou zijn gekomen als je natuurlijke middelen had gebruikt.

We doen vaak dingen simpelweg "omdat het kan". Alexander Graham Bell had niet een visie van de telefoon als grootschalig communicatiemiddel op de lange afstand toen hij een geluidsverbinding tot stand bracht naar de naastgelegen kamer, en daarmee zijn assistent verblufte. De gebroeders Wright ontwikkelden geen vliegtuig om te gebruiken voor passagiers- of vrachtvervoer, maar simpelweg om te laten zien dat je als mens ook zou kunnen vliegen. Iets dergelijks geldt eigenlijk voor alle grote uitvindingen. Ze worden in eerste instantie bedacht als curiositeit, en pas na een lange ontwikkeling worden ze algemeen gebruikt, en raken mensen ervan afhankelijk.

Met natuurlijke middelen hadden we waarschijnlijk nooit iets kunnen creëren dat in een keer duizend mensen door de lucht kan vervoeren. Maar hebben we daar ook wel echt behoefte aan? Waar we echt behoefte aan hebben is voedsel en schoon drinkwater. En daarvoor zijn we nog grotendeels afhankelijk van natuurlijke middelen. We ondersteunen die wel met kunstmest en technische hulpmiddelen, maar het zijn toch de planten, de dieren, de bacterien en de gisten die het werk moeten doen. En de rest is hubris.

Mensen zijn control freaks. De wiskunde is een uiting van de menselijke neiging om alles zelf in de hand te houden, tot op het laagste niveau. De wiskunde is een uiting van de neiging om alles als een spel op te vatten, en daarbij over de winnende strategie te beschikken. Maar het leven is geen spel. En dat zou ons nog wel eens goed kunnen opbreken.


Reacties (30)

   

-Wiskunde is logica en is zeker niet moeilijk, als men de tijd neemt om alle logische 'stapjes' in te studeren . Eenmaal men de 'draad' kwijt is, wordt het moeilijk .
-Wiskunde is ook de leer van de getallen ; en getallen zijn de heersers van de vormen en de ideeën ( Pythagoras) . -Valère De Brabandere-

   

Ware de hoofding niet beter: 'Waarom is iets moeilijk?'
Ik ervaar wiskunde als iets leuks, meer als een hobby. Programma's voor de computer schrijven, De computer naar je hand zetten. Als je aanleg hebt voor iets, dan wordt dat niet als moeilijk beschouwd. Een wiskundeknobbel ben ik niet (knobbel: ook zo'n oude wetenschappelijke gedachte dat men vaarwel gezegd heeft). De stap naar kansberekening wordt dan ook kleiner als men de wiskunde liefheeft.
Waarom onze eigen manier verschilt van de natuur? Voor mij vrij simpel: de natuur zit perfect in elkaar. Zij gebruikt haar eigen wetten moeiteloos. Haar natuurwetten proberen wij te doorgronden, meestal met behulp van de wiskunde. Persoonlijk ben ik van oordeel dat men veel sneller resultaat bekomt door eerst naar de natuur te kijken en te observeren en daarna die bevindingen om te zetten voor het menselijk geluk, Inderdaad lijkt alles tot 'grote controle' te komen. Hoe dan ook die komt er. Voor alles zijn er kaart systemen. Mutaliteiten, banken, frimakaarten. Van sommige kaarten worden uw gedrag gevolgd, en wordt daaruit reclame 'berekent', met het doel meer winst. De dag dat iemand door wiskunde en computer al die kaarten kan centraliseren, heeft de mens zijn vrijheid verloren en alzo zijn leven?! Weinigen denken zo na. Allerlei kaarten worden op gejuich onthaalt. Ook ik bezit er, daar men anders tot sommige zakens moeilijker toegang krijgt.
groetjes
Pauls

   

Beste Kweetal,

Je raakt in deze interessante bijdrage twee dingen me ook boeien.

1) Waarom is wiskunde moeilijk?

(In wat volgt bedoel ik met wiskunde niét die dingen die iedere competente programmeur een computer kan laten doen.)

Wiskunde is moeilijk omdat bijna niets mag. Bijna elke denkbare wiskundige uitspraak is fout. Wiskunde heeft uitzonderlijk strikte normen om iets als "juist" te beschouwen, en deze normen maken het voor de meeste mensen (mijzelf inbegrepen) zeer moeilijk, zoniet ondoenbaar om autenthiek nieuwe wiskundige uitspraken te bedenken die tegelijk correct en interessant (d.w.z. niet-triviaal) zijn.

Een tweede reden waarom wiskunde moeilijk is, is dat wiskunde onze persoonlijke attitudes, meningen, emoties en waarde-oordelen in zeer hoge mate overstijgt. Anders gezegd: of wij willen dat een stelling waar is, maakt niets uit. "Wij" doen slechts in beperkte mate mee. (Dit kenmerk deelt de wiskunde met verschillende exacte wetenschappen zoals natuurkunde, scheikunde etc.) Het lijkt me een gegeven dat veel mensen het daarmee moeilijk hebben. Wat wij denken dat waar is, is in hoge mate irrelevant (hoewel het wel een leidraad kan zijn bij het ondezoeken van een wiskundig probleem). Het vergt enige oefening om je die denktrand eigen te maken.

Ik ben het dan ook niet eens met je stelling "De wiskunde is een uiting van de menselijke neiging om alles zelf in de hand te houden, tot op het laagste niveau." Je hebt in de wiskunde weinig zelf in de hand. Als wiskundigen een structuur opzetten, hebben zij niet in de hand wat daaruit zal volgen. Toen Lebesgue de maattheorie bedacht, had hij niet in de hand dat Vitali niet-meetbare verzamelingen zou ontdekken. Hij had niet in de hand dat Banach rigoureus zou bewijzen dat je, met Lebesgue's perfect rationele en acceptabele maattheorie in de hand, een bol in stukken kunt verdelen die je weer kunt samenstellen tot twee bollen identiek aan het originele exemplaar. De wiskunde ontsnapt op een verbazingwekkende en wonderbaarlijke manier aan de controle van wiskundigen.

2) Het tweede punt dat me interesseert, zit vervat in het volgende citaat uit je bijdrage: "De wiskunde is een uiting van de neiging om alles als een spel op te vatten, en daarbij over de winnende strategie te beschikken. Maar het leven is geen spel. En dat zou ons nog wel eens goed kunnen opbreken."

Ik zie dat anders. Ik vind wiskunde een oefening in intellectuele nederigheid. Ik zal dit illustreren met een voorbeeld.

Neem een blad papier en trek daarom een continue, niet onderbroken lijn. Iedereen - letterlijk iedereen! - weet wat ik daarmee bedoel.

Of niet? Enter de wiskundige, die rigoureus begint na te denken over "continuiteit". Voor je een rigoureuze definitie hebt van continu die de strenge toets van de wiskunde doorstaat, zit je diep in de topologie, de verzamelingenleer, de fundamentele (en allesbehalve evidente) eigenschappen van de reële getallen, de epsilons en de delta's.

De meeste mensen haken af voor ze enige reëel inzicht in dit alles hebben.

De intellectuele bagage en het doorzettingsvermogen om dit alles te vatten zijn considerabel. En dan hebben we het nog maar over iets simpels als continuiteit! En dan zitten we nog maar op blz. 30 of zo van "The Principles of Mathematical Analysis" van Rudin!

Dit plaatst mij voor een interessante vraag. Dagelijks doen wij met veel aplomb uitspraken over de meest delicate problemen - de evolutietheorie, het bestaan van god, het dragen van de hoofddoek, de politiek, de economie etc.

Maar als we geconfronteerd worden met iets simpels waarover we rigoureus kunnen nadenken - continuiteit - dan bereikt slechts een minderheid een vorm van begrip, en een minderheid van die minderheid kan met dat begrip iets creatiefs en relevants doen.

Spoort ons dat niet aan tot grote intellectuele nederigheid als we uitspraken doen over de Grote Kwesties? Misschien doen we wel uitspraken over die Grote Kwesties omdàt we ze niet begrijpen. Omdàt we snel tevreden zijn over onszelf - veel sneller dan een wiskundige die nadenkt over iets eenvoudigs als continuiteit?

Mvg,

Aliaspg

   

Ja, platonisme of empirisme. Daar zijn we nog steeds niet uit. Beheersen wij de wiskunde of beheerst de wiskunde ons? Die discussie woedt al sinds Parmenides, en nog steeds heb je twee strikt gescheiden kampen, gewikkeld in een eindeloze discussie. Ik pretendeer niet dat ik daarin het verlossende woord zou kunnen spreken.
Wat je tweede punt betreft: de grootste klap voor de wiskunde waren de Gödelstellingen. Tot dan toe heerste de illusie onder wiskundigen dat het bouwwerk van de wiskunde vanaf 'first principles' kon worden voltooid zonder de eis van consistentie op te geven. En roen bleek dat van voltooiing, of van consistentie geen sprake kon zijn. Ik weet niet of er daardoor wiskundigen hun vak vaarwel hebben gezegd, maar het was toch de teloorgang van een ideaal. Het ideaal van "een spel met een winnende strategie", ook al kende je die niet.

   

En dan moet je ook nog bepalen wanneer het spel uit is.

Mooi stuk, en vooral bij deze zin voelde ik iets in me opkomen van: Zo! Die zit.

Ik was de draad namelijk al snel kwijtgeraakt destijds, maar aangezien wiskunde een verplicht vak was o.i.d. heeft de martelgang voor mij en mijn wiskundeleraar vrij lang geduurd. Zonder dat ik dun draad ooit heb kunnen oppakken uiteraard. Geef me drie willekeurige bladzijden uit een boek en ik vertel je waar het boek over gaat en hoe het afloopt, maar laat me gewoon een streep trekken als er om een ononderbroken lijn gevraagd wordt a.u.b.

   

Dat wiskundigen niet weten wanneer te stoppen, leid ik ondermeer af uit het feit dat er zoiets bestaat als ´de jacht op het hoogste priemgetal´ en dat we inmiddels dus zijn aangeland bij een getal dat je op moet rollen om het nog te kunnen hanteren (het papier waarop het uitgeprint is dan) en dat er nog niemand uit dit veld is opgestaan om 'STOP' te roepen, nee, niet eens 'HO EVEN'.

   

Ik zie nu overigens dat je de uitkomst van een som of van een wiskundige vergelijking ook kunt zien als een afspraak dat het spel teneinde is wanneer je die hebt gevonden, dus wellicht was mijn eerste ingeving -die van gezamenlijke haat en wraak- toch niet de juiste. Maar wel menselijk natuurlijk ;)

   

Overigens ben ik nog wel op zoek naar iemand die mij uit kan leggen hoe het mogelijk is dat je van een willekeurig getal de cijfers bij elkaar op kunt tellen om zo met absolute zekerheid te weten te komen of het deelbaar is door het getal 3 of niet -want is de verkregen uitkomst deelbaar door 3 dan is het getal het ook, en anders dus niet.

Het is me ooit verteld op de basisschool, maar naar de verklaring ervoor heb ik ook nooit echt gezocht, dus misschien is die heel simpel. De wet van de oneven getallen is misschien wel dat ze gewoon onvoorspelbaar zijn en daarmee ook een stuk interessanter voor wiskundigen dan die andere groep, de even getallen. Die regel van 3 geeft mij dan in ieder geval nog enige houvast in de, voor mij vrij wazige wereld van getallen.

   

Volgens mij volgt het antwoord op de vraag waarom wiskunde zo moeilijk – maar tegelijkertijd zo makkelijk! – is direct uit het wezen van wiskunde zoals die sinds de oude Grieken al is gedefinieerd: wiskunde is een abstractie van de zintuiglijke wereld. Meer in het bijzonder legt wiskunde de zuiver verstandelijke structuur of wezen van alle dingen bloot nadat men al het stoffelijke, het concrete en het toevallige heeft weggehaald (‘abstrahere’ = weghalen): wiskunde levert ons de wetten van alle vormen, de noodzakelijkheid van patronen. Wiskunde brengt ons zo een zuivere verstandelijkheid als (rationeel) fundament van de wereld.

Omdat de wiskunde zo alles weghaalt wat vreemd en ontoegankelijk voor ons is, namelijk de ondoorgrondelijke stoffelijke, veranderlijke buitenwereld, en ons terugvoert naar precies datgene wat ons verstand geheel kan vatten, namelijk het zuiver verstandelijke, is wiskunde in zeker opzicht het makkelijkst van alles: het is immers precies het enige wat wij überhaupt kunnen begrijpen! Hier komt ook de term ‘mathematica’ vandaan: ‘mathesis’ betekent leren en ‘mathematica’ betekent ‘datgene wat kan worden geleerd’. En het kan worden geleerd door ons (geestes)oog naar binnen te keren, naar wat ons eigen verstand ons vertelt. Hierop berust de hele filosofie van Plato: om kennis te verwerven moet je je afkeren van de zintuiglijke buitenwereld en je ziel naar de binnenkant, het zuiver intelligibele keren…

Maar die abstractie die ons naar het zuiver intelligibele voert maakt wiskunde tegelijkertijd zo moeilijk: zoals bv. Descartes op platoonse wijze al uitvoerig heeft beschreven worden wij nu eenmaal geboren in een lichaam hetgeen de geest vanaf het begin naar het lichamelijke doet richten. Ook in het platonisme vergt het vele jaren van oefening om de ziel van het lichaam te ‘bevrijden’ en naar het zuiver verstandelijke – uiteindelijk voorbij de wiskunde als verstandelijke abstractie van het zintuiglijke naar de zuivere Ideeën – te richten. En dat verklaart waarom wiskunde voor velen juist het moeilijkst is: deze mensen ontberen het vermogen tot abstractie en blijven daarom gericht op de stoffelijke wereld waardoor de zuiver verstandelijke wereld van de wiskunde voor hen een in hoge mate ontoegankelijke wereld is.

Een belangrijk verschil tussen de oudheid en de moderniteit is natuurlijk de status van de Ideeën: waar Plato deze opvatte als onafhankelijk van de mens bestaand, waardoor de werkelijkheid een objectief fundament in het verstandelijke heeft, vatten wij ideeën op als (toevallige) producten van onze hersenen. Dat heeft de wiskunde tot de dominante kracht in het moderne intellectuele leven gemaakt, ten koste van de metafysica: zoals Kant uiteenzet is het wezen van wiskunde de constructie uit begrippen (terwijl de filosofie de analyse van begrippen is), omdat de wiskunde haar abstracte objecten verbindt in de zuivere voorstelling. Het wezen van de wiskunde is niet de afleiding (zoals in de logica) maar de constructie. Het is daarom geen toeval dat de wiskundige Descartes de subjectiviteit tot fundament van alle kennis maakte (het ego van “ik denk dus ik ben”): de zuivere verstandelijkheid van de wiskunde is de zuivere subjectiviteit van het denkende subject. De moderne filosofie fundeert zo de objectiviteit in het denkend subject, het noodzakelijke in het toeval (God heeft deze wereld uit een oneindig aantal mogelijke werelden gekozen!) en het universele in het concrete (het experiment!) in plaats van het omgekeerde waarbij de stoffelijke, contingente wereld de afschaduwing is van een hogere, zuiver geestelijke waarheid. De subjectieve constructie van de wereld door middel van de wiskunde brengt een nieuw soort vrijheid en creativiteit: waar Plato geloofde in de pythagorees-Indiase leer der wedergeboorte zodat de ziel kon opstijgen naar de vormen door middel van herinnering (mathematica is ‘leren wat je al weet maar als gevolg van de geboorte in je lichaam vergeten bent’), wijzen de modernen als christenen die leer af en worden wiskunde en filosofie veel meer een subjectieve en oorspronkelijke schepping (mathematica is ‘leren wat je al weet doordat je het zelf bedenkt’). Wiskunde geeft ons zo een nieuwe vrijheid: vrijheid is niet meer zelfontplooing als de realisering van je potenties maar – gelijk een kunst of ambacht – een kwestie van zelfwetgeving, het volgen van zelfopgelegde regels (denk aan Kants autonomie). Dat maakt in de moderniteit wiskunde in hoge mate het ‘spel’ waar Kweetal over spreekt: wiskunde wordt het spel waarbij je kijkt waar je uitkomt bij willekeurig genomen, zelfgekozen objecten en spelregels. Waar wiskunde voorheen een nauwe band met de zintuiglijke werkelijkheid behield (zo was bv. astronomie een onderdeel van de wiskunde), wordt de wiskunde in de moderniteit daarmee zo abstract dat het al het contact met de zintuiglijke werkelijkheid verliest en een omvattend ‘al het denken wat gedacht kan worden’ wordt: de wiskunde geeft dan alle mogelijke of denkbare vormen van de werkelijkheid waaruit de natuurkundige die vorm of wiskunde kiest die overeenkomt met de ervaring.

   

Een nogal platonische visie: de wiskunde als een beschrijving van wat er achter de zintuiglijke wereld schuilgaat. Maar hoe weet je hoe je die zintuiglijke wereld moet reduceren tot zijn essenties? Wie reikt jou de principes aan waarmee je de doorsnede van een boomstam kunt reduceren tot een cirkel, met een irrationele verhouding tussen de diameter en de omtrek?
Aan de andere kant heb je het over zelfopgelegde regels. Bedoel je dan dat je die doorsnede ook zou kunnen reduceren tot een veelhoek?
Denk je dat de wiskunde zoals wij die kennen historisch bepaald is, of dat die uitgaat van noodzakelijke waarheden? Zou er ook nog een ander stelsel denkbaar zijn dat ons in staat stelt de werkelijkheid te beschrijven, zodanig dat we uit zo'n beschrijving conclusies kunnen afleiden over verschijnselen die zich nog niet hebben voorgedaan?

   

Kweetal,

je suggestie voor meer nederigheid is in mijn ogen op de verkeerde grond gebaseerd. Je hebt gelijk dat in onze tijd mensen met techniek problemen oplossen die niet noodzakelijk teruggaan op basisbehoeften, waardoor we onze leefwereld meer dan nodig uitputten.
De les die we hieruit moeten leren is echter in mijn ogen niet dat het een fout is van onze cultuur of techniek dat we ons niet meer spiegelen aan de oplossingen die de natuur ons aanbiedt (biomimicry e.d.). Wat je niet mag vergeten is de natuur van de mens zelf : een naakte aap, die oorspronkelijk enkel dankzij een warme periode en plaats in de geschiedenis van onze aarde kon gedijen, en die net omwille van zijn zwakheden gestimuleerd werd tot culturele eerder dan biologische evolutie. Het fundamentele aspect van een werktuig is al onnatuurlijk: een werktuig is geen onderdeel van een lichaam, en kan als extensie van het lichaam met andere werktuigen worden afgewisseld. Bovendien ontstaat hier al het begrip van afval, verbruik van grondstoffen voor het vervaardigen en vervangbaarheid van middelen, en dit alles is conflicterend met ecologische principes.

Biomimicry heeft natuurlijk zijn voordelen: de natuur heeft een creativiteit die autonoom werkt en bijgevolg paden kan demonstreren die de mens uit zichzelf mogelijk niet zou ontdekken. Maar verder dan dat zie ik het niet gebeuren: de mens moet nog altijd zichzelf en niet 'de natuur' beschouwen voor het evaluatie van de bruikbaarheid, en eerder dan zich over te geven aan natuurlijke belangen kan hij beter beseffen dat zijn omgeving voor hem leefbaar moet zijn, kortom dat de hem omringende natuur ook een menselijke kernbehoefte is.

   

Het gaat mij niet zozeer om biomimicry, maar om biocompatibiliteit. Als wij er niet tijdig in slagen om onze techniek duurzaam te maken, d.w.z. aan te passen aan de natuurlijke leefomgeving, maken we ons eigen voortbestaan onmogelijk.
Maar daarnaast speelt het probleem dat we verslaafd zijn aan onze eigen producten. Hoezeer de benzineprijs ook stijgt, we zullen niet de auto laten staan. En die jaarlijkse vliegvakantie wordt tegenwoordig ook als een grondrecht beschouwd. Keer op keer blijkt dat we er niet in slagen de milieunormen te halen die we onszelf hebben opgelegd.
Wat betreft het gebruik van werktuigen: dat is waardoor we juist zo succesvol zijn. We zijn geen predatoren, geen grazers, geen boomklimmende fruiteters. Ons specialisme is het gebruik van werktuigen. En zonder werktuigen zouden we waarschijnlijk al lang zijn uitgestorven.
Dat kan alsnog gebeuren, natuurlijk, als we niet oppassen. De kans is reeel dat ons intellect het laat afweten bij het oplossen van de problemen die we zelf hebben veroorzaakt

   

Ik bekijk de wiskunde eerder als een ‘rationele gereedschapskoffer’ om op een betrouwbare consistente wijze, patronen te beschrijven en te ontdekken. Soms ontwikkelen wiskundigen denkgereedschap waarvan we nog niet de toepassingen van inzien of pas veel later. Maar het kan ook zijn dat een bepaalde wiskundige kijk op de realiteit niet klopt met de waargenomen realiteit. Een voorbeeld hiervan is de vlakke meetkunde. Deze is slechts geldig binnen een beperkte meetkundige realiteit, waarbij kromme meetkundige ruimten slechts gebrekkig kunnen beschreven worden. Het knappe van wiskunde is dat ze dan nieuw denkgereedschap ontwikkelen om dat soort problemen rationeel consistent te beschrijven. Ook al leven we in een wereld die spontaan 3 dimensionaal wordt ervaren en waargenomen, toch kunnen we via wiskunde meerdimensionale werelden beschrijven. Deze blijken dan nadien ook toepasbaar te zijn, waar onze 3 dimensionale blik op de wereld faalt. Via wiskunde slagen mensen er in nieuwe patronen en verbanden vast te stellen die ze voordien niet ‘zagen’ en contra-intuïtief zijn. Er stelt zich wel een probleem. Wiskundigen worden meer en meer afhankelijk van computers om bewijzen vast te leggen omdat de rekenkracht van onze hersenen beperkt is. Onze hersenen zijn vooral sterk in het ontdekken van patronen, verbanden en samenhang, maar falen vooral indien ze een massa gegevens moeten verwerken. Dank zij wiskundige algoritmen en de sterke rekenkracht van computers kan dat probleem worden opgelost, zolang computers in staat blijven een enorme massa aan data wiskundig te verwerken. De wiskundige wordt hierdoor meer en meer afhankelijk van ‘machines’ en technologie om tot betrouwbare en consistente besluiten te komen.

   

Vooruit heer Voorhans,

De eenvoudigste uitleg die ik ken. Zo eenvoudig dat hij weer een beetje omslachtig wordt.

1)
9, 99, 999, 9999 ... enzovoort is deelbaar door 3

2)
10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1 etc.

3)
Het getal "DCBA" = A + 10 * B + 100 * C + 1000 * D.
Bijvoorbeeld: 5973 = 3 + 70 + 900 + 5000 = 3 + 10 * 7 + 100 * 9 + 1000 * 5

4) DCBA = (999 + 1) * D + ( 99 + 1 ) * C + ( 9 + 1 ) * B + A =
(A + B + C + D) + (999 * D + 99 * C + 9 * B)

5) Dat tweede stuk, met al die 9's is automatisch en altijd deelbaar door 3

Het getal is dus deelbaar door drie als A + B + C + D deelbaar is door drie.

QED

   

Sorry, ik snap er nog niet veel van geloof ik. Zat zelf net te denken aan een groot getal bestaande uit enkel enen (eventueel nullen erbij), dat dus enkel deelbaar blijft door 3 wanneer er drie enen bij komen.
Is dit nuttig? Geen flauw idee, daarom maar niet te veel tijd aan verspillen misschien.

   

Beste Pieter Voorhans,

Daar gaat het idee van Porphyrios dat de wiskunde "het gemakkelijkst" is ... Het lijkt me een idee dat je alleen kunt koesteren als je een fabuleuze wiskundige bent of helemaal niets van wiskunde weet.

Maar ik geef niet op.

Stel een getal X = A + B, de som van twee andere getallen A en B.
Stel dat A deelbaar is door 3.
Is X deelbaar door 3?
Alleen als ook B deelbaar is door 3. Ik ga ervan uit dat dat een evidentie is.

Welnu, neem een getal. Bijvoorbeeld 745.

745

= 700 + 40 + 5
= 7 x 100 + 4 x 10 + 5
= 7 x (99+1) + 4 x (9+1) + 5
= 7 x 99 + 7 + 4 x 9 + 4 + 5
= 7 x 99 + 4 x 9 + 7 + 4 + 5

Het laatste stukje van die vergelijking is de som van de cijfers van 745.

7 x 99 is deelbaar door 3, want 99 is deelbaar door 3
4 x 9 is deelbaar door 3, want 9 is deelbaar door 3

7 x 99 + 4 x 9 is dus deelbaar door 3. Het is de som van twee getallen deelbaar door 3.

Is 745 ook deelbaar door 3? Dat hangt er dus vanaf of 7 + 4 + 5 deelbaar is door 3;

Et voilà!!

   

Pieter,

3*3 = 9 , en 9+1 =10 . Toch?
Andersom: 10/3 = (9+1)/3 = 3 + 1/3 .
Bij hoofdrekenen zegt men dan : er is een rest van 1 overgebleven (we kunnen 1 niet delen door 3, dus 1 is wat er rest na deling).

De regel voor delen door 3 (en delen door 9 is net hetzelfde) is gebaseerd op het feit dat voor zowel 10 delen door 3, 100 delen door 3 , als alle duizendtallen, miljoentallen enzoverder, je steeds blijft zitten met een rest van 1.

Een veelvoud van 10 gaat blijven zitten met een veelvoud van die rest. Neem bijvoorbeeld het getal 20 delen door 3:
20/3 = 18/3 + 2/3 = 6 + rest 2
20/3 = 2* (9+1)/3 =2* (3+rest 1) = 6* rest 2

Het laatste wat aliaspg zegt is dat je ook moet onthouden dat je die rest soms ook nog kunt delen door 3. In het geval van bv 40 delen door 3:

40/3 = 4* (9+1)/3 = 4* (3+1/3) = 12 + 4/3 = 12 + 1 + 1/3, dus de rest is 1.

Voor mensen die het echt willen begrijpen zeg ik meestal: leid de regel voor delen door 6 eens af. Die regel zegt : tel het cijfer van de eenheden op bij het viervoud van de andere cijfers. Als deze som deelbaar is door 6 is het getal deelbaar door 6.

Dus bv 1872 = 2 + 4*(1+8+7) = 66. dus het getal is deelbaar door 6.

   

Beste Kweetal,

Ik ben het er niet mee eens dat Gödel zo'n zware klap was voor de wiskunde. Wiskundigen zijn vrolijk wiskunde blijven bedrijven na Gödel. Ik ken wel wat wiskundigen, en geen enkele maakt zich druk over Gödel. Ergens in mijn archief zit een tekst van de wiskundige en informaticus Gregory Chaitin waarin hij die situatie in de jaren tachtig mooi beschrijft. Hij zegt ongeveer

Vlak na Gödel leefde het gevoel dat het bewijs van zijn stelling bijzonder moeilijk was, en dat deze zware consequenties had voor de wiskunde. Tegenwoordig is het oordeel dat zijn stelling niet bijzonder moeilijk is en dat de gevolgen voor de wiskunde zeer beperkt zijn.

Toen Turing zijn "Halting Problem" beschreef, is de informatica toch ook niet stilgevallen? Studenten informatica zien het bewijs van Turing daaromtrent in het eerste jaar (de stelling in kwestie is trouwens min of meer equivalent met Gödel, als ik me niet vergis) en gaan vervolgens vrolijk verder met het bedrijven van informatica.

Ook al die wiskundig-filosofische dingen zoals Platonisme, finitisme, het filosofie van Brouwer etc. zijn in uiterst hoge mate irrelevant gebleken voor de wiskunde.

Ik begrijp trouwens niet waarom je de metafoor "spel" gebruikt voor de wiskunde. Bedoel je daarmee de toepassing van wiskunde op dingen die zelf geen wiskunde zijn, bijvoorbeeld de toepassing van de wiskunde op de economie? Dat is natuurlijk iets anders dan de wiskunde zelf, maar dan is de metafoor misschien niet onterecht. Dan kun je ook het gevoel krijgen dat je fenomenen controleert, etc.

Mvg,

Aliaspg

   

De wiskunde is zelf een spel. Het kent regels die omschrijven hoe je voortgang maakt (afleidingsregels), het kent objecten waarop die regels worden toegepast (de variabelen), het kent criteria voor slagen of mislukken (QED), en, het belangrijkste, het gaat alleen over zichzelf, niet over de een of andere externe werkelijkheid. Zijn dat niet precies de kenmerken van een spel?

   

En wat de impact van Gödel betreft. Totdat diens stellingen werden gepubliceerd, regeerde in de wiskunde Hilbert's programma, dat streefde naar een compleet en consistent bouwwerk, waarin de volledige wiskunde, in onderlinge samenhang, zou moeten worden ondergebracht. Dat programma heeft men na Gödel moeten opgeven.

   

Ik begin het wel te snappen geloof ik, met die 1 die je steeds overhoudt op bijv 100 tallen. Veel verder kom ik echter niet, waarschijnlijk wegen gebrek aan motivatie en/of ervaring met de materie. Het lijkt alsof ik gewoon te veel dingen tegelijk moet onthouden om tot een bevredigend resultaat in mijn hoofd te komen, terwijl ik deze dingen ook maar moeilijk kan doorgronden om diezelfde reden.

   

Kweetal,

Dat hele verhaal over Hilbert etc. ken ik ook, hoor. Gaarne kreeg ik enige concrete aanwijzingen dat Gödel een grote klap was voor de wiskunde. Ik zie hoofdzakelijk interessant werk dat (zijdelings of rechtstreeks) gestimuleerd werd door Gödel, en nog veel meer interessant werk dat gebeurde alsof er nooit een Gödel geweest was. Het idee dat Gödel een klap was etc. leeft wellicht vooral bij wiskundefilosofen, -sociologen, -historici etc. De absolute zekerheid kan niet bereikt worden! Nou, en?

Ach, je mag wiskunde een spel noemen wat mij betreft. Maar je moet er de metafoor wel erg ver voor oprekken. Mijn probleem is vooral dat die metafoor in hoge mate irrelevant is. Dat zie je aan punt vier, "wiskunde gaat alleen over zichzelf". Dat is waar. Maar tegelijk stellen we vast dat wiskunde fenomenaal nuttig is in de meest uiteenlopende domeinen. Sommige domeinen - ik denk aan de natuurkunde, maar bijvoorbeeld ook aan boekhouden of architectuur - zouden niet kunnen bestaan zonder wiskunde.

Ik ken geen enkel spel dat vergelijkbare eigenschappen heeft. Wiskunde "een spel" noemen, doet op z'n zachtst gezegd geen recht aan de wiskunde. Het feit dat je wiskunde een spel kunt noemen, heeft, vermoed ik, vooral te maken met de flexibiliteit van het woord "spel", en minder met enig relevant spelmatig karakter van wiskunde.

Mvg,

Aliaspg

   

Wat is er tegen om de wiskunde een spel te noemen? Doet dat iets af aan de bruikbaarheid? Ik heb het grootste deel van mijn werkzame leven doorgebracht op een faculteit wiskunde en infomatica. De wiskundigen daar waren over het algemeen vooral geïnteresseerd in de wiskunde om wille van de wiskunde, en niet vanwege de toepassingen. En velen van hen waren ook nog fanatieke schakers. Als ik hen psychologisch zou moeten karakteriseren, dan zou ik hen rasspelers noemen, trots op slimme trucs die ze bedachten, maar niet gericht op materieel succes.
Waar rek ik de spelmetafoor onverantwoord ver op? Ik heb het nergens over de bruikbaarheid voor natuurkunde of boekhouden, omdat dat met het spelkarakter als zodanig niets te maken heeft.

   

Ons geestelijk leven draait om overeenkomsten en verschillen tussen informatie, dus ook de wiskunde. Het begint direct al met getallen, waarbij de voornaamste eigenschap van een getal is dat het niet een ander getal is. Het voordeel in de wiskunde is dat je geen appels met peren hoeft te vergelijken omdat het slechts om de getallen an sich gaat en niet om een hoeveelheid appels of peren.
1 + 1 = 2 + 1 = 3 enz. Zo krijg je dus een getallenreeks die tot in het oneindige doorloopt, in tegenstelling tot appels of peren, want die raken een keer op. De wetmatigheden die we vinden tussen getallen noemen we reken- of wiskunde.

Dit is in het kort mijn stelling, ben benieuwd of jullie er iets mee kunnen.

   

Muziek is overigens ook weer zo´n spel tussen overeenkomsten en verschillen en er zijn dan ook wel overeenkomsten te ontdekken tussen noten en (hele) getallen. Dit voorbeeld dient om te verduidelijken hoe uiteindelijk alles draait om overeenkomsten en verschillen tussen informatie en de vrijheid van associëren die ons dit geeft. De vraag blijft natuurlijk altijd of de overeenkomsten en verschillen -eventueel wetmatigheden- die wij denken dat er zijn, er in de realiteit/werkelijkheid ook zijn.

   

Een spelletje tellen in een drietallig stelsel heeft als voordeel dat sommige vervelende repeterende decimale getallen verdwijnen.
Zo is bijvoorbeeld het getal (201,1)3 gelijk aan het 10-delige getal 19,3333….. In een drietalige stelsel verdwijnt het repeterende cijfer 3 na de komma. Immers (0,1)3 in het drietallig stelsel is gelijk aan 1/3 of 0,33333…… Op de reële getallenlijn is daarom een rationaal getal een exact punt, wat in de decimale schrijfwijze niet altijd zo lijkt te zijn omdat er sprake is van een oneindige herhaling van cijfers na de komma. Geschreven in een drietallig stelsel heeft het breukgetal 1/3 een eindig cijfer na de komma. In een zestallig stelsel is 1/3 gelijk aan (0,2)6, nl. 2*1/6 = 1/3
Je kan net zo goed optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in eender welk getalstelsel, wat trouwens gebeurt in een digitaal talstelsel, alleen heeft men daar maar twee cijfertjes: een nulletje en een eentje.
Zo is bijvoorbeeld in het drietallig stelsel (201,1)3 + (21,21)3 = (1000,01)3
of geschreven in ons bekende tientallig stelsel 19,333… + 7,777… = 27,111….

   

Je zou nu andere symbolen voor cijfers kunnen gebruiken in een ander talstelsel, maar kenmerkend om te kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen is dat al die talstelsels gebruik maken van een positie, net zoals in ons tientallig stelsel. De positie van het cijfer in het getal bepaalt of je te maken hebt met bijvoorbeeld duizendtallen, honderdtallen, tientallen, eenheden, enz… Belangrijk is hierbij het gebruik van een neutraal cijfer (de nul) die eigenlijk aangeeft dat op die positie er geen cijfer voorkomt. Talstelsels die niet gebaseerd zijn op posities van cijfers zijn nogal moeilijk om te bewerken. Zo is optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met Romeinse cijfers niet erg praktisch. De 'wiskundige uitvinding' om getallen te schrijven afhankelijk van hun positie en de invoering van een neutraal cijfer (de nul), heeft eigenlijk een revolutie tot stand gebracht. De vraag is echter: hoe zou onze wereld er uitzien zonder die 'uitvinding'. Er wordt vaak beweerd dat de natuur verloopt volgens wiskundige wetten, maar hoe zou onze wereld eruitzien zonder positie talstelsels? Zouden we onze wereld nog als 'wiskundig' beschrijven???? In hoever wordt onze kijk op de wereld niet beïnvloed door ons vermogen om wiskundig te denken????

   

Als meelezer vond ik dit een heel interessante kolom, en ook de reacties van aliaspg en Porhyrios vooral. Over de plaats van de wiskunde (in meer dan één richting) , en voor zover ik begrijp moet de logica weer als basis gezien worden van de wiskunde, in de wereld.

Ik zou nog wel meer willen horen over dit onderwerp (en aanverwante) in de 'voorkomende' taal van genoemde drie scribenten, die ik tenminste ook grotendeels kan volgen.

Aanleg voor (en interesse in) de wiskunde speelt ook een grote rol, het is gewoon niet anders, maar lijkt (lijken) ook al wispelturig. Voor mij persoonlijk is altijd een beetje een raadsel gebleven waarom ik in de wiskundevakken tot en met de vierde klas middelbare school (toen nog algebra en meetkunde genoemd) mee kon op het niveau van een 8, en daarna alleen met de allergrootste moeite de laatste twee bèta jaren (moet 'feitelijk' zeggen drie!) door kwam. Een boekje over stereometrie van nog geen 100 bladzijden heeft me zelfs een heel jaar gekost. (En een knak in 'zelfvertrouwen'. De rest van de onderdelen wiskunde nog net een zes, met hard werken, maar bij dat onderdeel kwam ik er absoluut niet uit: eerst een drie en de tweede keer een vijf met moeite en nog bijna onderhandelen want met een vier was het twee keer gezakt en dus textielarbeider worden bwvs, en in het huidige 'slachtoffer-denken': het leek wel een soort stereo-dyslexie.)

Eenmaal in de sociale wetenschappen op de universiteit bleek ik relatief weer op het niveau 8 te zitten in het vak statistiek (voor de echte wiskundige natuurlijk nog steeds wel spielerei op dat niveau van de sociale wetenschappen, besef dat nog), waar jongens (vooral) die met een 8 voor wiskunde op het eindexamen slaagden, soms niet tot een voldoende kwamen in dat eerste jaar. Rara. (Het kan aan hun werklust gelegen hebben, misschien bij mezelf wat geprikkeld natuurlijk, en tenslotte waren zij ook niet voor wiskunde of theoretische natuurkunde gegaan met die 8, want moest het 'eigenlijk' niet een 9 zijn? Waarschijnlijk wel! En 'de andere mens' is ook interessant in 'betekenisgeving' ?)

Maar goed, een relevante 'invalshoek', waar Por (voor het gemak) de etymologie van de woorden ook nog aanstipt, en aliaspg in elk geval ook nog laat zien bereid te zijn tot een 'behulpzaam' spel.

Natuurlijk, als je echt iets beter wilt 'snappen' is het beter 'boekjes' te gaan bestuderen, maar het willen 'communiceren' bij het 'ietsie-pietsie' wijzer (willen) worden, zeker waar de 'zorg' over de wereld ook doorklinkt. Dank voor de kolom en de genoemde reacties.

Met de plaats van de logica en de wiskunde overwegen, zit je meteen in het hart van de betekenisgeving, hoe dan ook, hoe hard Anouk verder ook zingt.

   

Je hebt twee soorten mensen die zich met wiskunde bezig houden: de mensen die zoeken naar wiskundige methoden voor de toepassing in de praktijk, en de mensen die zoeken naar nieuwe wiskundige stellingen en methoden. De eerste soort vind je vooral bij de vakfaculteiten (fysica, menswetenschappen). De tweede bij de wiskunde-vakgroepen zelf. En tussen die twee mensensoorten gaapt een enorme kloof. De eerste mensensoort beschouwt de wiskunde strikt als gegeven, de tweede strikt als een op zichzelf staand spel. De eerste mensensoort denkt dat ze niets kan bijdragen aan de ontwikkeling van de wiskunde, de tweede heeft geen belangstelling voor toepassingen. Gelukkig zijn er uitzonderingen, zoals Roger Penrose, maar die lopen het risico door geen van beide kampen serieus te worden genomen. Ik denk dat de wereld er een stuk beter van zou worden als die scheidslijn zou verdwijnen.

   

Nu we het over talstelsels hebben gehad, bedenk ik me dat de Engelsen en de Amerikanen zijn blijven steken in een achttallig stelslel waar het gewichten en/of maten betreft. Denk maar aan engelse steeksleutels of de engelse duim. Naast de duim is er dan nog de foot (feet) de yard en de mijl, wat dan weer helemaal ouderwets klinkt. Gelukkig weten we allemaal wat 1 horsepower precies is, dus kunnen de snelheids- of trekkrachtfanaten elkaar tenminste begrijpen als het over prestaties uitgedrukt in cijfers gaat.

Alleen geregistreerde gebuikers mogen comments plaatsen

Aanmelden of Registreer plaats een reactie