Newton en Hooke: de ontdekking van de zwaartekracht

In de blog: De zwarte doos reacties: 0 pdf print

Vergeleken met Sir Isaac Newton is Robert Hooke een onbekende jongen. Klein bier, zou men zeggen. Waar Newton legendarisch zou worden met het verschijnen van zijn Principia Mathematica, waarin hij voor het eerst de zwaartekracht en daarmee zowel de aardse val als de beweging van de planeten verklaart, is Hooke's roem gebleven bij de wet van Hooke, een verband tussen de terugroepende trekkracht en het rekken van materialen, bv een veer. Een terugblik op de geschiedenis laat een ander beeld zien: Hooke als zijnde de ontdekker van de zwaartekracht (dat hoort u goed), die enkel zoekt naar de juiste manier om die ontdekking te beschrijven, en daarvoor te rade gaat bij Newton.... Wat gebeurt is iets wat Hooke vaker heeft meegemaakt: Newton vindt de oplossing op aanwijzingen van Hooke, en komt ermee naar buiten alsof hij het allemaal zelf bedacht heeft. Wat ik hier wil aantonen is dat de verdienste van Newton ligt in zijn wiskundige behandeling; een behandeling die hij kon doorvoeren via zijn ideeën over infinitesimaal rekenen. Het echt fysische inzicht kwam echter van Hooke; met recht dus heeft Newton zijn boek Principia Mathematica gedoopt. De chronologie In 1666 bespreekt Hooke zijn basisidee voor de zwaartekracht. Los daarvan beschrijft Newton zijn behandeling van middelpuntvliedende krachten. In 1679 schrijft Hooke aan Newton, en legt hem zijn probleem voor. In 1684 komt Newton met De Motu Corporum in Gyrum, waarin hij een belangrijk stuk van de oplossing al formuleert, door de drie wetten van Kepler af te leiden. Een belangrijk hiaat is echter dat hier nergens over een aantrekkende kracht wordt gesproken. In 1685 schrijft Hooke zelf een grafisch-wiskundige formulering van zijn ideeën, maar publiceert deze niet. In 1687 worden de drie boeken van de Principia Mathematica gepubliceerd. 1666: De analogie in Hooke's werk Het briljante van Robert Hooke is dat hij de analogie ziet in verschillende takken van de wetenschap. Een voorbeeld daarvan is te vinden in zijn ontwerp van klokken. Naast de gangbare pendule-klokken van de tijd, die werken door de (dan nog aardse!) zwaartekracht van Galilei, ontwerpt Hooke in 1664 ook als eerste een klok die werkt op basis van een opwindbaar veer-mechanisme. Kenmerkend voor Hooke is dat hij hierbij spreekt over zijn uurwerk als een pendule, in metaforische zin: de werkende kracht van de veer beschouwt hij als 'artificial gravity'. Dat hij deze analogie niet enkel bedoelt als een mooi taalspel, een vergelijking tussen toestellen waar geen diepere waarheid achterzit, wordt geïllustreerd door een wat bizar ontwerp dat hij bedenkt rond dezelfde tijd. In 1666 toont hij het principe: een magnetisch uurwerk, waarbij een magnetische balans beweegt onder de invloed van een permanente magneet. Ook hier wordt een herstellende kracht gebruikt, net zoals bij de veerkracht of de slinger onder zwaartekracht. In 1666 tenslotte ontwerpt Hooke een nieuw soort pendule: een met een conische uiteinde als gewicht. Deze vorm stond toe dat de slinger een cirkel of zelfs een ellips beschreef in het vlak, in plaats van een verticale, rechtlijnige beweging. In datzelfde jaar presenteert Hooke een idee aan de Royal Society of London: met de 'baanbeschrijving' van deze slinger wil hij de baan van de planeten bestuderen. Het cruciale idee komt hem dan al op: hij stelt zich een lichaam voor dat een bepaalde rechtlijnige beweging heeft, maar van die lijn wordt weggesleept door de aantrekkingskracht van de aarde. Hij wil bekijken (met behulp van zijn slinger), of hij met deze ideeën de beweging van planeten kan beschrijven... Bovendien merkt hij op dat zijn slinger niet het perfecte model is, omdat de (terugroepende) zwaartekracht voor de slinger sterker wordt naarmate hij meer van zijn middelpunt afwijkt, terwijl de zwaartekracht tussen planeet en zon net sterker wordt bij het dichter komen... dit wijst al enigszins op het verband F~1/r² van de zwaartekracht. IN 1674 geeft Hooke ook aan dat hij zwaartekracht ziet als iets dat reageert tussen alle lichamen, niet alleen de zon heeft een aantrekkingskracht, maar ook andere lichamen. In die zin definieert hij al een universele zwaartekrachtswet, iets waar Newton op dat moment nog niet van overtuigd was. Newton probeerde alles te formuleren in termen van een middelpuntvliedende kracht: de planeten ondervonden een kracht omdat ze 'slingerden' rond een centrum, en bleven in dezelfde baan door een bepaalde interne kracht die daar weerstand aan bood. Hij vond zo al een cruciale relatie: F~ R/T², waarbij T de tijdsperiode van een draaiing rond een centrum met straalafstand R is. In principe is dit niet anders dan een gemakkelijk geval van F = massaversnelling, waarbij hier geldt dat A = V/T (want snelheid is constant over de draaiing), en V=2PiR/T. Een interessante analogie is trouwens die bekende Wet van Hooke! Deze stelt dat het uitrekken van een veer zorgt voor het opwekken van een weerstand, een terugtrekkende kracht die gelijk staat aan de 'rekafstand dx' die er bestaat: dus F= -kdx. Deze terugtrekkende kracht is een herstellende kacht: de verplaatsing dx wordt teruggebracht naar zijn centrum. We hebben al gezien dat Hooke de analogie maakte van zwaartekracht naar veerkracht in het bedenken van klokmechanismen: het lijkt erop dat hij andersom de zwaartekracht als 'herstellende kracht' nu als kern zag voor de baan van planeten. Men zou kunnen zeggen dat Newton sterk stond omdat hij kinetische energie beschreef, de relaties tussen tijd en ruimte, die hem ook verder zouden brengen met zijn infinitesimale rekenen. En dat Hooke sterk stond omdat hij potentiele krachten beschreef, wat ik hier herstellende krachten heb genoemd. 1679: Het schrijven tussen Hooke en Newton Wanneer Hooke Newton schrijft over zijn idee - de baan van planeten bekijken als een combinatie van een centrale aantrekkingskracht en een initieel lineaire planeetbeweging - is het voor Newton een rare periode. Wiskunde en natuurkunde trekt hem niet meer zo aan, en hij heeft al genoeg faam verworven om financieel goed te zitten en zich op eigen onderzoek te richten. Liever wil hij zijn tijd besteden aan alchemie - de zoektocht naar de 'philosopher's stone', de methode om lood in goud te veranderen, trekt hem zeer aan. Newton's eerste antwoord aan Hooke is dan ook vrij ongeïnteresseerd: wel adviseert hij Newton een methode om de ideeën van Copernicus te bewijzen, dat de aarde zelf om haar as draait. Het is echter ook duidelijk dat Newton in deze en volgende brieven toch de moeite neemt om enkele zaken van Hooke te overdenken. Later is een van de weinige onthullingen die Newton later over deze brieven doet:

In the end of the year 1679 in answer to a Letter from Dr Hok ... I found now that whatsoever was the law of the forces which kept the Planets in their Orbs, the areas described by a Radius drawn from them to the Sun would be proportional to the times in which they were described. And by the help of these two Propositions I foudn that their Orbs would be such Ellipses as Kepler had described.

Newton blijft echter beklemtonen dat hij zelf achter deze ideeën kwam, en dat Hooke hoogstens de prikkel gaf die Newton deze dingen deed heroverwegen. In elk geval zal dit verder leiden tot een cruciale publicatie. 1684: De Motu In 1684 publiceert Newton De Motu, waarin hij wiskundig de wetten van Kepler afleidt. Een cruciaal gegeven hier is dat hij iets doet wat hij voor 1679 nooit deed: hij stelt de baansnelheid van een planeet samen uit de component van een aantrekkende kracht van een centrum (als de zon) en een rechtlijnige 'interne' snelheid van een planeet. Daarmee kan hij Kepler's wetten aantonen op een puur wiskundige manier. (Zie bijvoorbeeld hier een behandeling van de tweede wet.) Het cruciale idee dat Newton zag en Hooke niet, is dat je de baan van de aarde in discrete tijdsblokjes mag opdelen, omdat je met een uniforme beweging zit. Laat ds een infinitesimaal klein stukje zijn van de booglengte van een cirkelbaan. Op dezelfde manier als Newton al in 1666 bewees voor een middelpuntvliedende kracht, geldt dan: ds op infinitesimale tijd dt ~ R/T . Dus: f~R/T² ~ ds²/R. En aangezien ds in verhouding staat tot de snelheid op elk punt: f~v²/R Deze brug - van tijdsperiode naar snelheid-per- tijdstip - was voor Hooke onmogelijk, omdat het infinitesimaal rekenen gewoon nog niet bestond. Dat Newton dit wel kan, maakt dat hij een relatie vindt tussen (1) de snelheid van bv een planeet op een bepaald punt, en een krachtsverhouding. De tweede stap - die hij voordien ook al maakte - is om de krachtterm af te leiden uit de wetten van Kepler: T² ~ R³, en dus f~1/R² De relatie die hier beschreven wordt is énkel gebaseerd op de afleiding uit de middelpuntvliedende kracht. Een cruciale -louter fysische- stap ontbreekt echter: f[ middelpuntvliedend] = f[ zwaartekracht] Het evenwicht van krachten is dus nog niet beschreven in het werk De Motu. 1685: Hooke komt dichtbij In een ongepubliceerd manuscript, The Laws of Circular Motion, geeft Hooke een grafische benadering op dezelfde manier als Newton, en geraakt zo ook (grafisch!) tot een elliptische baan. Bovendien doet hij dit op basis van een centrale aantrekkende kracht, en niet op basis van een middelpuntvliedende kracht. Alleen mist hij het wiskundig inzicht om op basis van deze geometrische constructie voort te gaan, wat wellicht komt omdat hij geen begrip heeft van de infinitesimale techniek, die een verband legt tussen afstand en snelheid... 1687: Principia Mathematica Het is dan ook Newton die uiteindelijk in zijn hoofdwerk alles bij elkaar brengt. Voor het eerst spreekt hij (in zijn eerste boek, waar hij niets over zwaartekracht zegt, in abstracte termen) over middelpuntzoekende of centripetale krachten, een inzicht dat hij van Hooke haalde. De verdere systematische wiskundige uitwerking van de implicaties hiervan, dat is allemaal Newton's werk. Zoals Newton-biograaf het verwoordt:

Hooke's contribution cannot be ignored. When Newton went on to cover its bones with the flesh of mathematical demonstration, he stepped onto ground that Hooke never approached.

Conclusie? In de discussie van historici gaat het om een strijdje: wie heeft het meest waardevolle inzicht geleverd? Het antwoord daarop lijkt me duidelijk: Newton, die naast de zwaartekracht immers een systematische behandeling toonde van ontzaglijk veel zaken. In die zin deed hij dus meer dan Hooke, die fantastische analogieën vond maar daar nooit echt een systeem voor beschreef. Maar waar het gaat om het inzicht van aantrekkende krachten lijkt het me toch Hooke, met zijn magneten, veren en tenslotte ook de zwaartekracht, die de fundamenten heeft gelegd. Hooke was met materie bezig, Newton met bewegingen en tijd. Een beetje poetisch is het dan toch, dat in de bewegingsvergelijking ma = kx, Newton met de beweging, en Hooke met de materiele weerstand wordt geassocieerd..


Reacties (0)

Alleen geregistreerde gebuikers mogen comments plaatsen

Aanmelden of Registreer plaats een reactie