Over de oorsprong van de meetkunde (2)

In de blog: De zwarte doos reacties: 0 pdf print

De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de bekendste uitspraak uit heel de wiskunde. Het is van dit begin al heel belangrijk op te merken dat de Griekse filosoof Pythagoras misschien niet de uitvinder was van deze uitspraak. Verschillende niet-westerse culturen zoals de Babyloniërs hadden er een begrip van. Dat geldt overigens voor meer wiskundige ideeën : wellicht zullen we nooit precies weten welke ideeën ontdekt zijn door het ene volk, en welke ideeën een ander volk gewoon heeft overgenomen. Toch wil ik hier de Oosterse invloeden van wiskunde overslaan en vertrekken van een (héél andere!) uitspraak van Pythagoras: Heel vroeg al wordt hier iets aangegeven dat lijkt op het concept van dimensie. Het getal 1 komt hier overeen met een punt, wat wij tegenwoordig de 0de dimensie noemen. Het getal 2 is een lijn of rechte, voor ons nu de 1ste dimensie. Het getal 3 stelt een oppervlak voor, dat is nu iets in 2 dimensies. En onze driedimensionale ruimte wordt bij Pythagoras opgebouwd uit 4 punten. Pythagoras doet hier nog iets: hij legt een verband tussen enerzijds getallen, anderzijds de meetkunde. De filosoof was dan ook echt gefixeerd op getallen: hij en zijn volgelingen hadden er een hele mystiek voor ontworpen. Los van de mystiek ontstaat hier een lijn in de geschiedenis die via Plato zal doorlopen naar Rene Descartes, die in een later bericht nog terugkomt... Een andere, heldere manier om het concept van dimensies te begrijpen is door op een plein of in een tuin te gaan staan en te doen als volgt:

  • Stap 0: Kies een startpunt. Stel nu deze plaats voor u voor, of fixeer ze in uw gedachten. Meer is er eigenlijk niet nodig om te begrijpen wat een punt is: niets meer dan een standpunt, een referentie. Of nog: een markering van een plaats, en dus niet meer dan een adres. Tot zover dimensie 0.
  • Stap 1: Vertrek nu van dit startpunt, loop gewoon een tijdje verder, en stop. Bekijk wat er veranderd is. Voor het eerst is er sprake van een afstand, een maat, en dat tussen je startpunt en het punt waar je nu staat. Die afstand is een lijn te noemen, een rechte zelfs als je de kortste weg neemt tussen de 2 punten. Eigenlijk is er niet meer voor nodig om de eerste dimensie te begrijpen: er is nu sprake van een rechte en punten.
  • Stap 2: Een nieuwe beweging wordt gemaakt als je nu om je as draait: je verandert van richting. Hierbij kan de lijn of rechte dienst doen als referentie-richting, net zoals de referentie van het eerste punt dienst doet als referentie voor het meten van een afstand tot een tweede punt. De tweede richting nu ontstaat eigenlijk pas als je begint te lopen, en de hoek tussen twee lijnen gevormd wordt. Als je nu stopt zie je dat er drie punten gevormd zijn, en verder twee rechten, en 1 hoek. Genoeg voor de tweede dimensie. Op dit punt gekomen kan iedereen wel manieren verzinnen om in de derde dimensie te bewegen. Gewoon een sprongetje volstaat. En dat geeft net iets merkwaardig aan: om in de derde dimensie te komen is enkel (1) een verandering van richting en (2) een verandering in afstand nodig. In wiskundige termen: een rotatie en een translatie. Er is dus niets nieuw onder de zon in de derde dimensie. Als de 'sprong' van de tweede naar de derde dimensie niets nieuws in zich bergt, lijkt het ook veilig om de sprong te maken van de derde naar de vierde dimensie. En van de vierde naar de vijfde, enzovoorts. Een eerste idee van de wiskundige topologie lijkt hier te ontstaan... Dat de driedimensionale ruimte qua opbouw niet veel nieuws is, heeft nog andere gevolgen. Ten eerste zorgt het ervoor dat de meetkunde (die de 'vaste' maat van dingen neemt!) kan werken met twee hoofdgroepen: afstanden of rechten, en richtingen of hoeken. Om die reden worden ook de verbanden tussen afstanden en hoeken sterk uitgewerkt, wat wij kennen als cosinus, sinus en tangens. Een tweede gevolg is dat deze ruimte en elke wiskundige ruimte opgebouwd is uit referenties, hetzij van plaatsen met verschuivingen, hetzij van richtingen met draaiingen. Meetkunde is dan niet veel meer dan rekenen met adressen. Of, zoals ik van een Wittgenstein-commentator hoor:

We can say: location-grammar applies to the word 'point' but not object- grammar. [...] Geometry is a study, not of objects, but of relationships.

.... een punt is geen 'object', het bestaat niet los van alles, het is met andere woorden geen Platoons idee. Een punt heeft pas zin als een ander punt bepaald is als referentiepunt; zodat het daarmee in relatie kan staan. Zoals plaatsbepalingen: adressen dus. Grappig genoeg is dit een idee dat weinig mensen zouden aanvaarden. Vanuit de leer van Pythagoras ontstond een mystiek 'bestaan' van getallen. Via Plato en veel later bijvoorbeeld Descartes bleef dit 'ideale bestaan' van de wiskunde verankerd : alsof de 'referentie' voor een punt bestond in een goddelijk idee. De oorsprong als referentiepunt werd dan als het ware verankerd in de Oorsprong, het absolute standpunt. Dat er zoiets bestond als een relatief standpunt (een standpunt van relatie, een standpunt met betrekking tot) kwam pas later naar voren. Maar wie eenmaal beseft dat meetkunde werkt met adressen, begrijpt ook beter waarom de interne samenhang bij meetkunde zoveel sterker is uitgewerkt dan die van bijvoorbeeld natuurkunde. Vergelijk dat met een telefoonboek, of een encyclopedie: daar heb je ook veel adressen, maar ook veel verschillende zoekmiddelen om tot hetzelfde punt, dat wil zeggen hetzelfde adres te komen. In die zin begrijp ik ook dat relatieve verhoudingen zoals cosinus, sinus, tangens een naam krijgen: het is een handig zoekmiddel om bepaalde taalverbanden te begrijpen. (In dit geval, homoniemen: de gelijkvormige driehoeken.) In de volgende bijdrage ga ik hierop verder door : wanneer in de tijd van Descartes de analytische meetkunde wordt ontwikkeld, lijkt het of dit inzicht van meetkunde als plaatsbepaling zich eindeiljk gaat vestigen. Maar een belangrijke misvatting zal dit verijdelen: diezelfde mystiek van het getal, waar Pythagoras over sprak...


Reacties (0)

Alleen geregistreerde gebuikers mogen comments plaatsen

Aanmelden of Registreer plaats een reactie