Over de oorsprong van de meetkunde (1)

In de blog: De zwarte doos reacties: 7 pdf print

Over de oorsprong van de meetkunde is een werk van de Duitse filosoof Edmund Husserl, zeg maar de grootvader van de fenomenologie. In dit werk wou Husserl op zoek gaan naar de menselijke beleving van wiskunde en meetkunde. Volgens hem werd meetkunde niet 'uit het niets' ontdekt, maar door de wereld die we dagelijks meemaken. Zo is er bijvoorbeeld de ruimte, die in drie dimensies wordt opgedeeld. In de visie van Husserl zijn er drie dimensies in de meetkunde omdat we die ook zo ervaren als mens. Stel dat we zouden leven als vierkanten in een platvlak, dan zou onze meetkunde ook een dimensie minder hebben: Dit standpunt van Husserl werd niet gedeeld door anderen. De gangbare opvatting in vroegere tijden en eeuwen was dat wiskunde en meetkunde tijdloze waarheden beschreven. Meetkunde zegt dus niet alleen iets over een driedimensionale ruimte die wij zien, maar ook over alle mogelijke driedimensionale ruimtes. In wiskunde valt de wereld zoals hij is te beschrijven, volgens deze visie. Zelf heb ik het dan meer voor de visie van Husserl, en daarom wil ik zelf eens op zoek gaan naar de menselijke beleving van wiskunde. Hiermee wil ik niet echt een historische schets geven, al zal ik wel iets te zeggen hebben over de oud-Griekse meetkunde, en over de meetkunde van Descartes. Eerder wil ik, door vanuit de menselijke beleving te vertrekken, laten zien dat bepaalde uitspraken over wiskunde niets meer met menselijke beleving van doen hebben. We zullen zien dat dit een gevolg is van een te sterk doorgedreven analyse in de wiskunde. Ik zal zelf proberen een analyse door te voeren die iets voorzichtiger te werk gaat. Bedoeling is hier niet om een nieuwe wiskunde te verzinnen, want daar is niks mis mee. Bedoeling is wel om aan te geven in welke contexten een wiskundige uitspraak bruikbaar is. De beste aanpak die ik ken om dat te doen is die van Wittgenstein; ik zal dan ook vaak naar hem teruggrijpen. Enkele thema's die ik nu al kan vrijgeven:

  1. Wat is een punt, wat is een lijn, wat zijn dimensies: kortom wat zijn de elementen van de meetkunde? (Van Pythagoras naar Euclides, van Euclides tot langs ?? tot finaal Wittgenstein)
  2. Over hoeken en verhoudingen, Descartes' sprong naar coördinaten.
  3. De gevolgen van niet-Euclidische meetkunde: wat is een beschrijving van ruimte vanuit verschillende (menselijke) aannames. De visie van Poincaré
  4. Eindbeschouwing: het construeren van modellen, en de weerklank in ervaring. Flatland 2.

Reacties (7)

   

Je project is heel boeiend. Maar -zo ben ik, helaas- alhier toch enkele vragen.

"door vanuit de menselijke beleving te vertrekken"

Is de beleving van een wiskundige ook een 'menselijke beleving'? Ik geef een concreet voorbeeld. In de tweedimensionale (projectieve) meetkunde heb je iets wat dualiteit heet. Stel dat je een stelling bewezen hebt over punten en rechten. Dat zegt dualiteit (een beetje vereenvoudigd) dat je in die stelling overal punt door 'rechte' mag vervangen, en rechte door 'punt', en dat de resulterende nieuwe stelling dan ook meteen bewezen is. Heel eenvoudig voorbeeld: twee punten bepalen een rechte, dus bepalen twee rechten een punt (het snijpunt).

Dualiteit behoort niet tot de wereld van de meeste mensen, maar als je veel met projectieve meetkunde speelt, dan behoort dualiteit wel tot je wereld als wiskundige.

"bepaalde uitspraken over wiskunde niets meer met menselijke beleving van doen hebben"

Opnieuw: over welke mensen heb je het dan? Wanneer telt iets als een 'menselijke beleving'?

"te sterk doorgedreven analyse"

Wat bedoel je daarmee? Ik heb onlangs het magnifieke bewijs dat de wortel van 2 geen breuk is, uitgelegd aan een boekhouder. De man kon dat bewijs volgen, maar hij kon echt niet vatten wat het betekende. Het kwam er ongeveer op neer dat hij onmogelijk kon vatten waarom iemand in de breukigheid van wortel 2 geïnteresseerd kon zijn. ("Ik heb in mijn hele leven nog nooit iets anders dan breuken nodig gehad") Wat zegt de beleving van deze (overigens uitstekende) boekhouder over wortel 2?

Tenslotte: is de menselijke beleving vaak geen slecht raadsheer? Saccheri probeerde te bewijzen dat de ontkenning van het parallellenaxioma tot een contradictie zou leiden - wat hem natuurlijk niet lukte. Naar het schijnt heeft hij toe gefrustreerd gezegd dat ""L'ipotesi dell'angolo ottuso è completamente falsa, poiché distrugge se stessa". Met andere woorden, de 'beleving' dicteerde hem dat deze ontkenning fout moést zijn. Quod non...


---
Bewerkt door Administrator op Jan 08 12 1:27
   

Dewey, William James, ..., hebben hierover ook toffe dingen geschreven.

Ook http://en.wikipedia.org/wiki/Where_Mathematics_Comes_From en http://en.wikipedia.org/wiki/Embodied_philosophy zijn volgens mij interessant en relevant. En daarbij ook vooral heel erg husserliaans.


---
Bewerkt door Administrator op Jan 08 12 1:27
   

Ik heb een boek van Lakoff en Johnson gekocht ooit, het idee vond ik wel leuk maar de uitwerking is toch niet al je dat.

maar de pragmatische lijn van Dewey, James,... en zo je wil Davidson is effectief een waar ik naar neig ja.

Alias, wat de menselijke beleving betreft:
mijn vraagstelling, zoals je zult zien, is in hoeverre iets een oorspronkelijke vraag is, of als oorspronkelijke vraag te herleiden valt. Het verschijnsel 'dualiteit' heeft zeker zin in de wiskunde, dat bedoel ik ook als ik zeg dat er met wiskunde zelf niets mis is, maar 'dualiteit' is voor mij wel een gevorderd, afgeleid product. Als jij afkomt met dualiteit, dan vraag ik jou naar de menselijke beleving die daar achter zit. In jouw plaats zou ik dan aangeven dat dualiteit een begrip is dat een verband legt tussen lijn-coordinaten en punt-coordinaten. En dan zou ik gaandeweg voortdenken tot ik via lijnen en punten terechtkom met een verband naar beleving toe.

Een dergelijke nasporing (misschien een ander soort analyse?) zou Saccheri misschien kunnen laten zien dat het parallellenpostulaat niét noodzakelijk is. Ik zie daar in de menselijke beleving in elk geval geen aanwijzing voor...


---
Bewerkt door Administrator op Jan 08 12 1:27
   

Ik blijf zitten met mijn vraag: wat is 'de' menselijke beleving? Is de menselijke beleving van een wiskundige 'minder menselijk' dan die van een geschoold arbeider?

Sommige dingen beleef je pas door hard te werken, lang na te denken, veel te zoeken... en door je eigen beleving vooral niet teveel als uitgangspunt te nemen.

Overigens is het altijd interessant om zo'n idee toe te passen op de theorie of het denkkader dat je gebruikt bij de analyse.

Stel (stel!) dat de theorie die je gebruikt (bijvoorbeeld iets van Husserl of zo) zélf erg ver staat van de menselijke beleving, en trekken vertoont van (te?) sterk doorgedreven analyse.

Is het dan filosofisch oirbaar om aan de hand van deze theorie of dit denkkader te onderzoeken hoe ver de wiskunde van de beleving staat?


---
Bewerkt door Administrator op Jan 08 12 1:27
   

Mijn mening blijft zich richten op jouw voorbeeld van dualiteit. Dualiteit is volgens mij een beschrijving-over-een-beschrijving, waarbij de beschrijving in dit geval wiskundige lijnen en punten zijn.

Ik wil al even benadrukken dat het niet mijn voorstel is om dualiteit zo te benaderen dat er zogezegd een direct verband wordt gemaakt tussen de menselijke beleving en de dualiteit.

Maar zaken zoals dualiteit, die net gekenmerkt worden door een ontbreken van een verband met 'directe' menselijke beleving, missen daardoor iets dat je met andere zaken niet hebt. Je kunt bijvoorbeeld geen probleem stellen in termen van dualiteit tenzij je het eerst al hebt herschreven in termen van lijnen en punten.

Mijn standpunt erkent dat feit, en wil daarom net benadrukken dat een eerdere stap belangrijk is: het herschrijven van 'iets' in lijnen en punten. Dit verband wordt soms veronachtzaamd, net omdat de cohesie van de interne aspecten van wiskunde zo sterk is.

Wat met de beleving van de wiskundige? Heel weinig, als hij die beleving ook niet naar een extern domein kan overplaatsen.


---
Bewerkt door Administrator op Jan 08 12 1:27
   

Ik moet toegeven dat ik het niet begrijp. Ik wacht beter op je teksten.

Voor mij wordt iets pas interessante wiskunde als je loskomt van de beschrijving van wat jij (veronderstel ik nu) een menselijke beleving noemt.

Zelfs de beschrijving van iets als een 'wiskundige rechte' of een 'wiskundig punt' (vs. een 'beleefde rechte' of een 'beleefd punt') is al een abstractie. Waarbij het abstracte object 'wiskundige rechte' eigenschappen heeft die niet overeen komen met die van een 'beleefde rechte'. (Voor zover ik het me herinner probeerde Euclides uit te leggen wat een rechte en een punt 'zijn', wat natuurlijk niet lukte.)

Een driehoek met zijden 3, 4 en 5 is een rechthoekige driehoek met schuine zijde 5. Dat is de beleving. Maar bewijzen - of zelfs maar inzien! - dat de zijden van iedere rechthoekige driehoek in de Euclidische meetkunde voldoen aan a^2 + b^2 = c^2 vraagt al een forse afstand van de beleving. (Wij kunnen natuurlijk niet iedere rechthoekige driehoek beleven - het zijn er oneindig veel. Lees ook het originele bewijs van Euclides eens na. Het is allesbehalve voor de hand liggend.)

Je zou zelfs kunnen zeggen dat het idee van het wiskundige bewijs (toch de kern van wat we tegenwoordig wiskunde noemen) zeer problematische banden heeft met de beleving.

Neem het volgende:

"Als 100 km rijdt in één uur tijd, dan moet je minstens één moment exact 100 km/u gereden hebben."

Dat lijkt evident. Stel je maar voor dat je nooit 100 km/u gereden zou hebben. Dan rij je ofwel altijd sneller, ofwel altijd langzamer. Hoe kan je dan ooit een gemiddelde van 100 km/u halen?

Maar een wiskundig bewijs is dit niet, eerder een door de ervaring bevestigde intuïtie. Om wiskundig aan te tonen dat die door de beleving ingegeven intuïtie correct is, en in welke omstandigheden dat ze correct is, vraagt een flinke afstand van de onmiddellijke beleving. Je moet bijvoorbeeld definieren wat "de snelheid op een bepaald moment" is, en dat is allesbehalve een definitie die je rechtstreeks uit een beleving kan halen. Je moet daarnaast bepaalde veronderstellingen maken over continuïteit (maar wat is continuïteit?), enzovoort.

Misschien vergis ik me, maar je maakt m.i. pas de stap naar wiskunde als je de onmiddellijke beleving achter je laat.

Maar zoals gezegd: ik wacht geïnteresseerd op je teksten.


---
Bewerkt door Administrator op Jan 08 12 1:27
   

http://www.pandoracharms.me.uk
http://www.michaelkors-outlethandbags.us.com
http://www.kobe9elite.us
http://www.poloralph-lauren.com.co
http://www.omega-watches.name
http://www.edhardyuk.me.uk
http://www.christian-louboutinoutlet.us
http://www.salomon-shoes.us.com
http://www.cheap-nfljerseyswholesale.us.com
http://www.michaelkors-handbagswholesale.in.net
http://www.jordan-shoes.us.org
http://www.cheapmlb-jerseys.us.com
http://www.hugobosssale.name
http://www.eccoshoesoutlet.us
http://www.michaelkors-handbagswholesale.us.com
http://www.new-balanceshoes.in.net
http://www.conversetrainer.org.uk
http://www.underarmouroutlet.cc
http://www.michael-korsoutletonline.us.org
http://www.michaelkorshandbagscheap.in.net
http://www.edhardyoutlet.name
http://www.longchamps.us
http://www.moncleroutletstore.us.org
http://www.instyler-max.in.net
http://www.airforce1.us.org
http://www.michael-korsoutletstore.us.org
http://www.suprashoes.eu.com
http://www.michaelkors-outletclearance.in.net
http://www.dolceandgabbana.in.net
http://www.cheapnbajerseys.us.com
http://www.chaussurelouboutinpas-cher.fr
http://www.outletmichaelkors.us.org
http://www.nikeblazerpascher.fr
http://www.abercrombieandfitchkids.us.com
http://www.michaelkorshandbags-outletonline.us.com
http://www.nikerosherunshoes.me.uk
http://www.oakleysunglasses.nom.co
http://www.airjordanuk.org.uk
http://www.rolexreplica-watches.com.co
http://www.adidasnmdr1.us.com
http://www.truereligionjeanssale.us.com
http://www.michael-korsoutlethandbags.us.com
http://www.michaelkors-handbagsoutlet.in.net
http://www.nikehuarache.org.uk
http://www.ralphlaurenoutlet.com.co
http://www.jordanshoes.eu.com
http://www.cheap-michaelkorshandbags.us.org
http://www.cheapmichael-korshandbags.us.com
http://www.michaelkorsoutlethandbags.us.org
http://www.handbagsmichaelkors.in.net
http://www.raybans-sunglasses.us.org
http://www.rayban-sunglassescheap.us.com
http://www.cheapnhl-jerseys.us.com
http://www.versace-shoes.in.net
http://www.yeezyboost-350.us.org
http://www.oakleysunglassescheap.us.org
http://www.nikeblazerlow.fr
http://www.michaelkorsuk.org.uk
http://www.cheapmichaelkorshandbags.us.org
http://www.lebron-jamesshoes.net
http://www.michaelkorsoutletstore.us.org
http://www.michaelkorsoutlethandbags.in.net
http://www.ralphlauren-pas-cher.fr
http://www.montblancpensoutlet.name
http://www.nikeairhuarache.com.co
http://www.handbagsmichaelkors.us.org
http://www.michaelkorshandbagswholesale.in.net
http://www.reebokoutlets.in.net
http://www.nikeair-huarache.me.uk
http://www.the-northface.co.uk
http://www.michaelkorshandbagswholesale.us.org
http://www.michaelkorshandbagssale.us.com
http://www.fitflopssaleclearance.org
http://www.nikestoreuk.com.co
http://www.tiffanyandco-outlet.us
http://www.nmdadidas.us.org
http://www.niketrainersuk.com.co
http://www.michaelkorshandbagswholesale.us.com
http://www.cheap-nikeshoes.org
http://www.oakley.de.com
http://www.pandora-jewelryoutlet.name
http://www.basketballshoes.us.org
http://www.armaniexchangeoutlet.us
http://www.saclongchampfr.fr
http://www.jimmy-choo.in.net
http://www.fitflopssale-clearance.us.com
http://www.skechers-outlet.us
http://www.michaelkorshandbags.uk
http://www.handbagsmichaelkors.us.com
http://www.nikefree5.us.com
http://www.nike-tnpascher.fr
http://www.birken-stocksandals.com
http://www.gucciborse2016.it
http://www.louisvuitton-sacpascher.fr
http://www.michaelkorshandbagssale.in.net
http://www.nikeoutletstore.us.org
http://www.tomsshoes.eu.com
http://www.ferragamo-shoes.cc
http://www.asics-runningshoes.in.net
http://www.redvalentino.in.net
http://www.ghd-flatiron.com
http://www.nike-trainers.com.co
http://www.airmax90.eu.com

Alleen geregistreerde gebuikers mogen comments plaatsen

Aanmelden of Registreer plaats een reactie